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易数博览(64) 第十章 点的三垂线定理
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    第十章   点的三垂线定理

人类在五、六千年以前就认识了三角形,不少的数学家研究并发现了三角形本身的许多性质,诸如研究了三角形的外切圆、内接圆的许许多多性质及其特殊点的存在性.然而却没有进一步去研究点对三角形所具有的更为普遍的自在性质及其动量规律.我们长期研究太极八卦数学科学性,一直受“静中有动,动中有静”哲理的启迪,发现了三角形中“点的三垂线定理”.人们从文中得到的结论绝不会仅只是初等问题,定会探悟出不少的象理性与数理性来.本文仅对三角形点的三垂线定理简单介绍如下:          

定理:过三角形所在平面内任一点作这点与各顶点所在直线的垂线, 三垂线与相应顶点对边的三交点共线.

图10—1中,设点H是 △ABC形外的任一点 作直线HA0⊥HA  、HB0⊥HB、HC0⊥HC, 则 HA0、HB0、HC0分别与三边所在直线交于点A0、B0、C0,即 有A0、B0、C0三点共线.这个定理可称之为三角形的点的三垂线定理.

图10—1

証明:用垂线法証明.如图,作AA1⊥HC0、AA'⊥HB0、BB1⊥HA0、BB'⊥HC0、CC1⊥HB0、CC'⊥HA0,垂足分别为 A1 、A'  、B1、B' 、C1、C' .

∵  ∠AHB1 =∠BHA'=90°,  ∠AHB1-∠A' HB1=∠BHA' -∠A' HB1  ,

∴   ∠AHA'=∠BHB1 , ∴   Rt△AHA'∽Rt △BHB,BB1 / AA'= HB /HA .     

同理可証         Rt △BHB'∽Rt△CHC',   CC1  / BB'=HC/ HB,

来源:(http://blog.sina.com.cn/s/blog_4ae436a80100j5nk.html) - 问题连载(64)第十章   点的三垂线定理_哥德_新浪博客
                      Rt △CHC'∽Rt△AHA,  AA1  / CC '=HA / HC,       ,

把梅涅劳定理用于△ABC,得 

  AC0 /C0B· BA0 /A0C ·CB0 /B0A =AA1 / BB'·BB1/ CC '·CC1/ AA'

          =AA1 /CC '·BB1/AA'·CC1/ BB'= HA/HC·HB/HA·HC/HB = -1. 

∴     A0 、B0 、C0  三点共线.当点H为图2所示位置时,A0 、B0 、C0 亦共线.故本定理得証.

图10—2

毫无疑义,三角形点的三垂线定理中的任一点是可以随心所欲地选定其位置的,在三角形所在平面上,这一点也允许取在三角形三边上或者顶点的位置,其性质亦不例外,甚至这个定理可以推广到空间去永恒是正确的.                                    

在一个三角形不变的情况下,若令已知点变运动,依据三角形点的三垂线定理可以得到相应的一条动直线.由于已知点可以任意选取位置,若令已知点在已知轨迹上运动,与这个已知动点相应的 动直线的变化就遵循某一种规律,再将这个已知动点投影到相应的动直线上去,我们就可以得到原形的一条异形线,即一条卦线.

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